Sistema Binário

Sistema Binário

Os números Naturais são utilizados para resolver problemas de contagem e foram os primeiros a serem utilizados pela humanidade. Já no início da civilização, havia uma certa “correspondência binária” neste processo, pois as tribos primitivas costumavam contar as coisas como “um, dois e muitos”, ou seja, tudo conjunto ou coleção que tinha mais do que dois elementos era considerado como muitos ou infinito. Essa herança primitiva permanece até hoje: em francês, por exemplo, a palavra “muitos” se traduz como “très” e este radical está presente em vários idiomas modernos para representar tal número: no próprio francês, três é traduzido como trois, em inglês, three, em Italiano, tre e assim por diante. Com a evolução histórica, social e intelectual da humanidade, evoluiu também o conceito de infinito mas, embora seja matematicamente incorreto, é comum pessoas dizerem que uma quantidade enorme ou incontável é infinita.

Embora a matemática tenha um alto nível de exigência no tocante ao rigor das demonstrações lógicas, por muito tempo o conjunto N foi tido apenas como intuitivo e não demonstrável, tanto que o famoso matemático Leopold Kronecker (1823 – 1891) chegou a afirmar que Deus criou os números Naturais e o homem fez todo o resto. Foi apenas em 1889 que o matemático italiano Giuseppe Peano (1858 – 1932) conseguiu caracterizar os números Naturais de forma axiomática, através dos famosos Axiomas de Peano, Posteriormente, seguiram-se outras demonstrações mais complexas e rigorosas deste conjunto.

Para entendermos os sistemas de numeração, precisamos de dois conceitos importantes no conjunto N: divisibilidade e divisão euclidiana.

Divisibilidade em N: A divisibilidade é a versão multiplicativa da relação de ordem e é definida como: dados dois números naturais a e b, com b diferente de 0, dizemos que b divide a (ou, de forma recíproca, que a é um múltiplo de b) e anotamos b|a se e somente se existe um outro número natural c tal que a = b . c.

Por exemplo: 2|6 pois 6 = 3 . 2; 7|63 pois 63 = 7 . 9, mas 3 não divide 8, pois não existe nenhum número natural que multiplicado por três resulte em 8.

Percebamos, aqui, que o conceito de divisibilidade nada mais é do que achar uma solução para a equação bx = a . Por este motivo, tratamos deste assunto apenas no conjunto dos números Naturais e Inteiros, pois ela poderá ou não ter uma solução; em outros conjuntos, como Q, I ou R, sempre existirá algum x que satisfaça a equação. Se trouxéssemos o último exemplo para Q, teríamos que x=8/3. Notemos com isso, b é sempre menor ou igual a a.

O algorítimo de Euclides para a divisão: Euclides foi um famoso matemático grego que viveu em aproximadamente 300 a.C. Foi ele quem escreveu a obra Os Elementos, que definem os alicerces para a Geometria que vemos nos ensinos Fundamental e Médio e que também é utilizada em várias áreas, como engenharia, design e construção civil.

Fora da Geometria, Euclides descobriu um teorema o qual nos permite dividir qualquer número Natural por outro – e você certamente o conhece desde o início de sua vida escolar. Ele se baseia na ideia de divisibilidade a qual acabamos de ver e tem por objetivos responder a uma simples pergunta: Se a e b são números Naturais e b não divide a, qual será o múltiplo de b que mais se aproxima de a? A resposta a esta pergunta está em um teorema o qual afirma que, se a e b são números Naturais, então existem e são únicos os números Naturais q e r tais que a = q . b + r, sendo que r é menor do que b.

Chamamos a q de quociente e a r de resto. A condição de que o resto seja menor do que o divisor b nos garante que o quociente será único. Caso não fizéssemos essa restrição, a divisão de a por b poderia ter infinitos resultados.

Como vimos no exemplo anterior, 3 não divide 8. Assim, podemos utilizar o algorítimo da divisão euclidiana e concluir que 8 = 2 . 3 + 2, ou seja: 6, 3 . 2, é o múltiplo de 3 que mais se aproxima de 8. Nesta expressão, perceba que q = 2 e r = 2 e, ainda, que o valor de r é menor do que o divisor 3. Caso não considerássemos a condição r < b, também poderíamos escrever que 8 = 1 . 3 + 5 ou que 8 = 0 . 3 + 8 e, se considerássemos o conjunto dos números inteiros, Z, teríamos mais infinitas possibilidades. Desta forma, garantimos a unicidade do resultado ao considerar que o resto sempre deverá ser menor do que o divisor. Perceba, ainda, que se a for múltiplo de b, o resto será igual a 0 e a divisão será dita exata.

Sistemas de numeração: 

Agora que temos toda a base matemática de que precisamos, podemos tratar dos sistemas de numeração em si. Um sistema de numeração nada mais é do que um sistema onde um conjunto de números é representado por numerais de forma consistente.

Atualmente, nós utilizamos um sistema de numeração decimal, isto é, de base 10, que é dito posicional, ou seja, cada algarismo, além de seu valor, possui um peso dado através da posição que ocupa. Desta forma, embora os números 518 e 851 sejam compostos pelos mesmos algarismos, sabemos que eles representam quantidades diferentes.

A princípio, a base do sistema de numeração pode ser um número qualquer. Os babilônios antigos usavam um sistema de base 60 cujos vestígios encontramos ainda hoje na medição de ângulos e nos relógios, por exemplo. Quando a base do sistema é menor ou igual a 10, utilizamos os algarismos indo arábicos para representar os numerais; quando é maior, devemos utilizar outros símbolos, geralmente letras do alfabeto latino.

Graças a um teorema matemático, sabemos que cada número Natural possui uma representação única em uma base qualquer. Este teorema pode ser enunciado como: “Seja b um número Natural com b ≥ 2. Então, para todo a Natural diferente de 0, existem e são únicos números Naturais c0, c1, c2, , cn tais que a = cnbn+ cn-1bn-1+ … + c1b + c0 para os índices de c menores do que b e o último diferente de 0“.

Esta expressão, acima, chama-se de “expansão de a na base b” e também pode ser descrita como a = (cncn-1...c1c0)b.

Com isso, a expansão do número 524 na base decimal é 5 . 102+ 2 . 10 + 4. Perceba que o número que multiplica cada algarismo é a base numérica elevada a um expoente que corresponde à posição do numeral menos 1 e o último algarismo está, na verdade, sendo multiplicado pela base elevada a 0.

Convertendo de uma base qualquer para a base 10:

Com o que vimos anteriormente, para convertermos um número que está em uma base qualquer para a base decimal simplesmente devemos escrever e calcular a expansão deste número na base dada.

Por exemplo, vamos calcular quanto vale (52024)7 na base 10:

(52024)7= 5. 74+ 2 . 73+ 0 . 72+ 2 . 7 + 4 = (12709)10

Convertendo da base 10 para uma base qualquer:

Para convertermos um número que esteja na base decimal para outra base b, devemos encontrar uma expressão da forma a = cnbn+ cn-1bn-1+ … + c1b + c0 para o mesmo.

Como exemplo, vamos escrever o número 139 na base 3. Para isso, precisamos encontrar para ele uma expressão do tipo 139 = an 3n+ an-13n-1+ … + a13+ a0.

Ao utilizarmos a propriedade distributiva da multiplicação, temos que

139 = 3 . (an 3n-1+ ...+ a1) + a0

Desta forma, concluímos que a0 é, na verdade, o resto da divisão de 139 por 3. Se realizarmos tal divisão, teremos que 139 = 46 . 3 + 1, ou seja, a0 é igual a 1. Com isso, 46 . 3 = 139 - 1. Mas nós sabemos que 139 = 3 . (an 3n-1+ ...+ a1) + a0= 3 . (an 3n-1+ ...+ a1) + 1 . Temos, então, que 139 = 3 . (an 3n-1+ ...+ a1) , ou seja, eliminamos o termo independente. Vamos repetir essa operação até eliminarmos todos os a‘s e, então, teremos que:

139 = 46 . 3 + 1

46 = 15 . 3 + 1

15 = 5 . 3 + 0

5 = 1 . 3 + 2

Agora, vamos fazer uma série de substituições:

139 = 46 . 3 + 1 = (15 . 3 + 1) . 3 + 1 = 15 . 32 + 1 . 3 + 1 = 5 . 33 + 1 . 3 + 1 = (1 . 3 + 2) . 33 + 1 . 3 + 1 = 1 . 34 + 2 . 33 + 0 . 32 . 1 . 3 + 1

Assim, concluímos que a expansão de 139 na base 3 é (12011)3. Note quem apesar de esta ser a explicação matematicamente correta, muitos cursos técnicos preferem simplificar o processo simplesmente dizendo que, para converter um número na base decimal para outra base devemos realizar sucessivas divisões euclidianas do número pelo algarismo que representa a base até que o divisor seja igual a 0 e pegarmos os restos de baixo para cima. Este procedimento, muito mais simples, está correto e é justificado pelo exemplo anterior.

 

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Sistemas de numeração utilizados na Informática

Os sistemas de numeração mais utilizados na informática são:

Base 2: também conhecido como sistema binário. É um sistema posicional composto pelos numerais 0 e 1 e, além da Informática, é utilizado na Eletrônica Digital na implementação de circuitos de portas lógicas. Uma de suas primeiras aplicações na informática surgiu quando da utilização de cartões perfurados para representar informações e programas.

Base 8: o sistema octal também é um sistema posicional e foi utilizado na Informática como alternativa ao sistema binário. É composto pelos numerais 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7.

Base 16: o sistema hexadecimal é, talvez, um dos mais conhecidos da atualidade. É composto de 16 algarismos, representados por 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F. Trabalha-se com ele como qualquer outro sistema, mas deve-se prestar atenção ao valor dos caracteres alfabético na hora de fazer operações e conversões. É atualmente a maior alternativa ao sistema binário por ser extremamente compacto e é utilizado para representar portas, interrupções e endereços de memória, além de cores no desenvolvimento web, em substituição ao sistema RGB. Para representar as cores, é utilizada uma notação de seis dígitos, onde cada dupla, da esquerda para a direita, representa o valor da intensidade do vermelho, do verde e do azul, respectivamente, variando de 00 até FF, que representa o valor decimal 255. Assim, as cores variam de 000000, que representa o preto, até FFFFFF, que corresponde ao branco. Os tons de cinza são representados por valores iguais nas três posições, como por exemplo 666666, DEDEDE ou CCCCCC. Quanto mais próximo de FFFFFF, mais clara é a tonalidade de cinza. Ao todo, essa notação hexadecimal permite a representação de mais de 16 milhões e meio de cores. Alguns programas de desenho vetorial e de tratamento de imagem incluem, ainda, uma quarta dupla de valores na notação para representar o nível de transparência da cor selecionada. Graças à base hexadecimal, as rotinas de tratamento de imagem foram em muito facilitadas, Por exemplo: para fazer o efeito de negativo em uma foto, isto é, inverter suas cores, basta subtrair de FF cada valor da tripla que representa a cor de cada pixel.

Base 62: Talvez você nunca tenha ouvido falar deste sistema, mas acredite: você já o utilizou. O sistema de base 62 está se tornando cada vez mais popular porque seus 62 algarismos são representados pelos numerais de 0 a 9 e pelas letras de A a Z e de a a z. Uma de suas aplicações mais recorrentes está nos famosos encurtadores de URL: o código gerado pelo encurtador nada mais é do que a conversão de um número decimal – geralmente o número de identificação único para cada URL no banco de dados – nesta base. Assim, quanto mais caracteres um encurtador de URLs utilizar para gerar sua URL curta, mais URLs ele terá cadastradas.

Base 64: É um sistema numérico utilizado para codificação de dados binários que precisam ser armazenados e transferidos em meios que foram desenhados originalmente para lidar com dados textuais. É composto pelos algarismos de 0 a 9, pelas letras de A a Z e de a a z e pelos símbolos / e +. O caractere = é utilizado como sufixo especial.

O sistema binário ou base 2, é um sistema de numeração posicional em que todas as quantidades se representam com base em dois números, com o que se dispõe das cifras: zero e um (0 e 1).

Os computadores digitais trabalham internamente com dois níveis de tensão, pelo que o seu sistema de numeração natural é o sistema binário (aceso, apagado). Com efeito, num sistema simples como este é possível simplificar o cálculo, com o auxílio da lógica booleana. Em computação, chama-se um dígito binário (0 ou 1) de bit, que vem do inglês Binary Digit. Um agrupamento de 8 bits corresponde a um byte (Binary Term). Um agrupamento de 4 bits é chamado de nibble.

O sistema binário é base para a Álgebra booleana (de George Boole – matemático inglês), que permite fazer operações lógicas e aritméticas usando-se apenas dois dígitos ou dois estados (sim e não, falso e verdadeiro, tudo ou nada, 1 ou 0, ligado e desligado). Toda a electrónica digital e computação está baseada nesse sistema binário e na lógica de Boole, que permite representar por circuitos electrónicos digitais (portas lógicas) os números, caracteres, realizar operações lógicas e aritméticas. Os programas de computadores são codificados sob forma binária e armazenados nas mídias (memórias, discos, etc) sob esse formato.

O matemático indiano Pingala apresentou a primeira descrição conhecida de um sistema numérico binário no século III a.C..

Um conjunto de 8 trigramas e 64 hexagramas, análogos a números binários com precisão de 3 e 6 bits, foram utilizados pelos antigos chineses no texto clássico I Ching. Conjuntos similares de combinações binárias foram utilizados em sistemas africanos de adivinhação tais como o Ifá, bem como na Geomancia do medievo ocidental.

Uma sistematização binária dos hexagramas do I Ching, representando a sequência decimal de 0 a 63, e um método para gerar tais sequências, foi desenvolvida pelo filósofo e estudioso Shao Yong no século XI. Entretanto, não há evidências que Shao Yong chegou à aritmética binária.

O sistema numérico binário moderno foi documentado de forma abrangente por Gottfried Leibniz no século XVIII em seu artigo “Explication de l’Arithmétique Binaire”. O sistema de Leibniz utilizou 0 e 1, tal como o sistema numérico binário corrente nos dias de hoje.

Em 1854, o matemático britânico George Boole publicou um artigo fundamental detalhando um sistema lógico que se tornaria conhecido como Álgebra Booleana. Seu sistema lógico tornou-se essencial para o desenvolvimento do sistema binário, particularmente sua aplicação a circuitos eletrônicos.

Em 1937, Claude Shannon produziu sua tese no MIT que implementava Álgebra Booleana e aritmética binária utilizando circuitos elétricos pela primeira vez na história. Intitulado “A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits”, a tese de Shannon praticamente fundou o projeto de circuitos digitais.

Binários a decimais

Dado um número N, binário, para expressá-lo em decimal, deve-se escrever cada número que o compõe (bit), multiplicado pela base do sistema (base = 2), elevado à posição que ocupa. Uma posição à esquerda da vírgula representa uma potência positiva e à direita, uma potência negativa. A soma de cada multiplicação de cada dígito binário pelo valor das potências resulta no número real representado. Exemplo:

1011(binário)

1 × + 0 × + 1 × 21 + 1 × 20 = 11

Portanto, 1011 é 11 em decimal.

Decimais em binários

Decomposição do Número, exemplo:

8,375 = 8 + 0,375

Divisão por dois para o número inteiro:

8÷2=4 resto = 0
4÷2=2 resto = 0
2÷2=1 resto = 0
              1
+ 1 do resultado
8 = 1000

Multiplicações Sucessivas para atingir o número pós vírgula de base 10 em binário dessa forma:

Se multiplica por dois, se a unidade do resultado for 0 pegue esse número e continue, se for 1 pegue o número e veja as casas decimais (depois da vírgula) se elas forem todas 0 você acaba, caso contrário zere a unidade e volte a fazer a multiplicação sempre pegando o número da unidade. Você coloca os números na ordem em que vieram sem for 0, 1 e depois 1 têm que ser 011. Exemplo:

0,375 x
2,000
—————
0,750 x - pegue o 0
2,000
—————
1,500   - pegue o 1
0,500 x - zerar a unidade e volte a multiplicar
2,000
—————
1,000   - pegue o 1, quando o número chegar a 1,0 inteiro você para e utiliza os números dados
anteriormente. Então 0,375 = 011 depois da vírgula de um binário, finalizando 8,375 = 1000,011

Soma de Binários

0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10, ou seja 0 e vai 1* (para somar ao digito imediatamente à esquerda)

Para somar dois números binários, o procedimento é o seguinte:

Exemplo 1:

     *
     1100
  +   111
    -----
  = 10011

Explicando: Os números binários são base 2, ou seja, há apenas dois algarismos: 0 (zero) ou 1 (um). Na soma de 0 com 1 o total é 1. Quando se soma 1 com 1, o resultado é 2, mas como 2 em binário é 10, o resultado é 0 (zero) e passa-se o outro 1 para a “frente”, ou seja, para ser somado com o próximo elemento, conforme assinalado pelo asterisco, como no exemplo acima.

Exemplo 2:

    **
     1100
  +  1111
    -----
  = 11011

Explicando: Nesse caso acima (exemplo 2), na quarta coluna da direita para a esquerda, nos deparamos com uma soma de 1 com 1 mais a soma do 1 ( * ) que veio da soma anterior. Quando temos esse caso (1 + 1 + 1), o resultado é 1 e passa-se o outro 1 para frente.

Subtração de Binários

0-0=0
0-1=1 e vai 1* para ser subtraido no digito seguinte
1-0=1
1-1=0

Para subtrair dois números binários, o procedimento é o seguinte:

      * ***
     1101110
  -    10111
     -------
  =  1010111

Explicando: Quando temos 0 menos 1, precisamos "pedir emprestado" do elemento vizinho. Esse empréstimo vem valendo 2 (dois), pelo fato de ser um número binário. Então, no caso da coluna 0 - 1 = 1, porque na verdade a operação feita foi 2 - 1 = 1. Esse processo se repete e o elemento que cedeu o "empréstimo" e valia 1 passa a valer 0. Os asteriscos marcam os elementos que "emprestaram" para seus vizinhos. Perceba, que, logicamente, quando o valor for zero, ele não pode "emprestar" para ninguém, então o "pedido" passa para o próximo elemento e esse zero recebe o valor de 1.

Multiplicação de Binários

A multiplicação entre binários é similar à realizada com números decimais. A única diferença está no momento de somar os termos resultantes da operação:

  1 0 1 1  
        x 1 0 1 0  
        ---------
          0 0 0 0
  +     1 0 1 1    
  +   0 0 0 0 
  + 1 0 1 1 
  ---------------
  = 1 1 0 1 1 1 0
        *

Perceba que na soma de 0 e 1 o resultado será 1, mas na soma de 1 com 1, ao invés do resultado ser 2, ele será 0 (zero) e passa-se o 1 para a próxima coluna, conforme assinalado pelo asterisco. Nota que se a soma passar de 2 dígitos, deve-se somar o número em binário correspondente ( ex. 7 = 111, 6 = 110, 5 = 101, 4 = 100, 3 =11).

            1 1 1  
        x   1 1 1  
        ---------
            1 1 1
  +       1 1 1    
  +     1 1 1 
    ---------------
  =   1 1 0 0 0 1

No caso, a terceira coluna a soma dá 4 (com mais um da anterior), que adiciona um "1" duas colunas depois (100).

Divisão de Binários

Essa operação também é similar àquela realizada entre números decimais:

  110 |__10__
- 100  11—010
-  10—00

Deve-se observar somente a regra para subtração entre binários. Nesse exemplo a divisão de 110 por 10 teve como resultado 11.

A conversão de um número decimal no seu equivalente binário é chamada codificação. Um número decimal é expresso como um código binário ou número binário. O sistema numérico binário, como apresentado, é conhecido como código binário puro. Este nome o diferencia de outros tipos de códigos binários.

Decimal Codificado em Binário

O sistema numérico decimal é fácil de se usar devido à familiaridade. O sistema numérico binário é menos conveniente de se usar pois nos é menos familiar. É difícil olhar em número binário e rapidamente reconhecer o seu equivalente decimal.

Por exemplo, o número binário 1010011 representa o número decimal 83. É difícil dizer imediatamente, por inspeção do número, qual seu valor decimal. Entretanto, em alguns minutos, usando os procedimentos descritos anteriormente, pode-se prontamente calcular seu valor decimal. A quantidade de tempo que leva para converter ou reconhecer um número binário é uma desvantagem no trabalho com este código, a despeito das numerosas vantagens de “hardware”.

Os engenheiros reconheceram este problema cedo, e desenvolveram uma forma especial de código binário que era mais compatível com o sistema decimal. Como uma grande quantidade de dispositivos digitais, instrumentos e equipamentos usam entradas e saídas decimais, este código especial tornou-se muito difundido e utilizado. Esse código especial é chamado decimal codificado em binário (BCD – binary coded decimal). O código BCD combina algumas das características dos sistemas numéricos binário e decimais.

Código BCD 8421

O código BCD é um sistema de representação dos dígitos decimais desde 0 até 9 com um código binário de 4 bits. Esse código BCD usa o sistema de pesos posicionais 8421 do código binário puro. Exatamente como binário puro, pode-se converter os números BCD em seus equivalentes decimais simplesmente somando os pesos das posições de bits onde aparece 1.

Observe, entretanto, que existem apenas dez códigos válidos. Os números binários de 4 bits representando os números decimais desde 10 até 15 são inválidos no sistema BCD. Para representar um número decimal em notação BCD substitue-se cada dígito decimal pelo código de 4 bits apropriados.

Por exemplo, o inteiro decimal 834 em BCD é 1000 0011 0100. Cada dígito decimal é representado pelo seu código BCD 8421 equivalente. Um espaço é deixado entre cada grupo de 4 bits para evitar confusão do formato BCD com o código binário puro. Este método de representação também se aplica as frações decimais.

Por exemplo, a fração decimal 0,764 é “0.0111 0110 0100” em BCD. Novamente, cada dígito decimal é representado pelo seu código equivalente 8421, com um espaço entre cada grupo.

Uma vantagem do código BCD é que as dez combinações do código BCD são fáceis de lembrar. Conforme se começa a trabalhar com números binários regularmente, os números BCD tornam-se tão fáceis e automáticos como números decimais. Por esta razão, por simples inspeção da representação BCD de um número decimal pode-se efetuar a conversão quase tão rápido como se já estivesse na forma decimal.

Como exemplo, converter o número BCD no seu equivalente decimal. 0110 0010 1000.1001 0101 0100 = 628,954

O código BCD simplifica a interface Homem-máquina, mas é menos eficiente que o código binário puro. Usam-se mais bits para representar um dado número decimal em BCD que em notação binária pura.

Por exemplo, o número decimal 83 é escrito como 1000 0011. Em código binário puro, usam-se apenas 7 bits para representar o número 83. Em BCD, usam-se 8 bits. O código BCD é ineficiente, pois, para cada bit numa palavra de dado, há usualmente alguma circuitaria digital associada. A circuitaria extra associada com o código BCD custa mais, aumenta a complexidade do equipamento e consome mais energia. Operações aritméticas com números BCD também consomem mais tempo e são mais complexas que aquelas com números binários puros. Com quatro bits de informação binária, você pode representar um total de 24 = 16 estados diferentes ou os números decimais equivalentes desde o 0 até o 15. No sistema BCD, seis destes estados (10-15) são desperdiçados.

Quando o sistema numérico BCD é usado, alguma eficiência é perdida, mas aumenta-se o entendimento entre o equipamento digital e o operador humano.

Decimal Binário Puro BCD
0 0000 0000
1 0001 0001
2 0010 0010
3 0011 0011
4 0100 0100
5 0101 0101
6 0110 0110
7 0111 0111
8 1000 1000
9 1001 1001
10 1010 0001 0000
11 1011 0001 0001
12 1100 0001 0010
13 1101 0001 0011
14 1110 0001 0100
15 1111 0001 0101

Decimal, Binário Puro e BCD

Conversão Binário para BCD

A conversão de decimal para BCD é simples e direta. Entretanto, a conversão de binário para BCD não é direta. Uma conversão intermediária deve ser realizada primeiro. Por exemplo, o número 1011.01 é convertido no seu equivalente BCD.

Primeiro o número binário é convertido para decimal. 1011.01 = (1×2^3)+(0x2^2)+(1×2^1)+(1×2^0)+(0x2^-1)+(1×2^-2) =8+0+2+1+0+0,25 = 11,25(10)

Então o resultado decimal é convertido para BCD. 11,25(10) = 0001 0001.0010 0101

Para converter de BCD para binário, as operações anteriores são invertidas. Por exemplo, o número BCD 1001 0110.0110 0010 0101 é convertido no seu equivalente binário.

  1. O número BCD é convertido para decimal. 1001 0110.0110 0010 0101 = 96,625
  2. O resultado decimal é convertido para binário
Inteiro Resto Posição Fração Inteiro Posição
96 ÷ 2 = 48 0 -> LSB 0,625 x 2 = 1,25 = 0,25 1 <- MSB
48 ÷ 2 = 24 0   0,250 x 2 = 0,50 = 0,50 0  
24 ÷ 2 = 12 0   0,500 x 2 = 1,00 = 0 0 <- LSB
12 ÷ 2 = 06 0        
06 ÷ 2 = 03 0        
03 ÷ 2 = 01 1        
01 ÷ 2 = 00 1 <- MSB      
9610 = 11000002 0,62510 = 0.101
96,62510 = 9610 + 0,62510= 1100000 + 0.101 = 1100000.101

Como o número decimal intermediário contém uma parte inteira e uma parte decimal, cada parte é convertida como visto anteriormente. A soma binária (inteiro mais fração) 1100000.101 é equivalente ao número BCD 1001 0110.0110 0010 0101.

Vários códigos binários são chamados códigos alfanuméricos pois eles são usados para representar caracteres assim como números.

Código ASCII

O “American Standard Code for Information Interchange” comumente referido como ASCII – também chamado ASCII completo, ou ASCII estendido –, é uma forma especial de código binário que é largamente utilizado em microprocessadores e equipamentos de comunicação de dados.

Um novo nome para este código que está se tornando popular é “American National Standard Code for Information Interchange” (ANSCII). Entretanto, utilizaremos o termo consagrado, ASCII. É um código binário que usado em transferência de dados entre microprocessadores e seus dispositivos periféricos, e em comunicação de dados por rádio e telefone. Com 7 bits pode-se representar um total de 27 = 128 caracteres diferentes. Estes caracteres compreendem números decimais de 0 até 9, letras maiúsculas e minúsculas do alfabeto, mais alguns outros caracteres especiais usados para pontuação e controle de dados!

 

O sistema binário e a eletrônica digital

Enquanto a eletrônica digital trabalha apenas com dois valores possíveis de amplitude, a analógica admite que a amplitude de um sinal pode assumir qualquer valor entre um mínimo e um máximo dados através do tempo. O valor 1 representa o valor mais alto de amplitude, logicamente assumido como verdadeiro e o 0, o mais baixo, correspondente ao lógico falso. É um grande equívoco, portanto, acreditar que o 0 representa a ausência completa de energia Complemente o 1 a presença de energia.

Os circuitos integrados digitais mais utilizados atualmente podem ser de dois tipos: TTL e CMOS. Os circuitos TTL (Transistor-Transistor Logic) são comercializadas em duas séries de modelos: aqueles que começam com 54 são destinados ao uso militar e os que começam com 74 à utilização comercial. Nesta família de circuitos lógicos, o sinal de entrada pode variar em uma amplitude que vai de 0V a 5V. Quando o sinal está entre 0V e 0,8V, o circuito o interpreta como sendo o nível mais baixo de amplitude, isto é, o 0 binário. Já quando o sinal recebido está entre 2V e 5V, este é interpretado como sendo o nível alto 1. As tensões entre 0,8V e 2V não são reconhecidas pelo circuito e deve-se, portanto, evitar seu uso em circuitos digitais. Já na família CMOS (Complementary Metal Oxid Semiconductor), tensões que estejam entre 0V e 1,5V são interpretadas como o baixo nível de energia, ou o Falso lógico. Já as tensões de 3,5V a 5V são reconhecidas como o nível alto ou 1. As tensões intermediárias não são reconhecidas. Assim, cai por terra o mito de que o 0 binário representa a ausência completa de energia: o zero, na verdade, representa o nível lógico correspondente ao falso. Isso não significa, necessariamente, que haja ausência de energia.

Portas lógicas são circuitos digitais que recebem uma ou mais tensões de entrada e devolvem apenas uma tensão de saída. Através da associação dessas portas, podemos construir circuitos capazes de realizar operações aritméticas simples, utilizando como base a álgebra booleana. Essas portas lógicas são constituídas por transistores que atuam como chaves ao receber um sinal elétrico, permitindo ou não sua passagem. Hoje, porém, existem circuitos integrados que já desempenham este papel. É desnecessário dizer que elas também estão presentes em processadores, em escala muito reduzida. As principais portas lógicas disponíveis hoje, com exemplos entre parêntesis, são:

•NOT (TTL 7404) – também conhecida como inversora. Caso receba um nível lógico 1, devolverá 0 e caso receba um nível lógico 0, devolverá 1;

•AND (TTL 7421 / CMOS 4081) – Possui duas entradas e uma saída. Retorna 1 apenas se receber o nível lógico 1 em ambas as entradas;

•OR (TTL 7432 / CMOS 4075) – Também possui duas entradas e uma saída, mas devolve 1 se pelo menos uma das entradas informar o nível lógico 1.

•NAND (TTL 7400 / CMOS 4011) – Equivale a uma porta AND seguida de uma porta NOT. Retorna 0 se receber o nível lógico 1 em ambas as entradas e 1 nos demais casos;

•NOR (TTL 7402 / CMOS 4001) – Equivale à porta OR seguida de NOT. Retorna 1 apenas se as duas entradas informarem o nível lógico 0;

•XOR (TTL 7486 / CMOS 4070) – A porta Ou Exclusivo retornará o nível lógico 1 se e somente se apenas uma das entradas for igual a 1 e a outra igual a 0.

Embora seja possível combinar livremente as portas lógicas, as empresas buscam economizar recursos quando de sua utilização em projetos eletrônicos calculando circuitos equivalentes, isto é, circuitos que produzirão o resultado esperado com um menor número de portas. Para isso, os engenheiros utilizam o Teorema de Morgan ou o Mapa de Karnaugh.

Fonte: Diversas

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